力學能守恆定律可由牛頓定律推得嗎？

力學能守恆一般我們稱為”定律”，而實際上可以從功能原理跟位能的定義推導出來。這樣還可以稱為定律嗎？還是講”力學能守恆原理”比較好？基本上我看課本跟坊間講義都寫力學能守恆定律。

其實早在二、三十年前就有許多學者—尤其是於教授熱力學四十餘年的 Robert P. Bauman[1] —提出這種推導造成的能量迷思。所謂的「這種推導」是什麼意思？由於寫法有千千百百種，我就寫個看起來很順暢的、常見的「功能定理」推導過程吧。

$$\because W_{\text{net}}=\vec{F}_{\text{net}}\cdot\Delta\vec{r}=m\vec{a}\cdot\Delta\vec{r}$$

$$\therefore W_{\text{net}}=m\frac{\left|\vec{v}_{f}\right|^2-\left|\vec{v}_i\right|^2}{2}=\frac{1}{2}m\left|\vec{v}_f\right|^2-{1\over2}m\left|\vec{v}_i\right|^2=\Delta E_k$$

這推導的不妥（也許不致於說錯誤）之處，就好像我宣稱「男人都是好色之徒！」一樣，由於「男人」可解讀為「所有男人」或「有些男人」，所以可能產生因歧義而造成的謬誤；當我們把「男人」解讀為「所有男人」時，可能就會有人反對了。那麼上式的哪個部分具有至少兩種意思呢？那就是質量「$m$」究竟是牛頓當時提出的單質點系統，還是後來經尤拉擴充過後的多質點系統。如果「$m$」是指單質點系統，那麼可說是沒有任何爭議；但如果是「多質點系統」，例如在粗糙桌面上滑行的木塊[2]，那麻煩就大了。

至於由上述的功能定理推導出來的「力學能守恆定律」則是：

• 假設物體只受重力作用，並且定義重力位能等於 $mgy$。

$$W_{\text{net, ext}}=W_{\text{mg}}=\left(-mg\right)\Delta y=\Delta E_k$$

$$\therefore mg\left(-\Delta y\right)=mg\left(y_i-y_f\right)=\Delta E_k=E_{k,\,f}-E_{k,\,i}$$

$$\therefore U_{g,\,i}-U_{g,\,f}=E_{k,\,f}-E_{k,\,i}$$

$$\therefore E_{k,\,i}+U_{g,\,i}=E_{k,\,f}+U_{g,\,f}$$

最後我們將重新檢討這條「力學能守恆方程式」的實際意義。

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一、為什麼上述「功能定理」的推導看似沒問題呢？

先前我有在〈重力對懸垂於桌邊之繩做的功〉說明過這問題，對多質點系統的假功（pesudo-work）能定理推導如下（詳見〈假功與真功〉）。首先，考慮一個常見的多質點系統，其總質量為 $M$，並且組成它的各質點質量為 $m_i$、各質點加速度為 $a_i$，所以它的牛頓第二定律可寫為[3]：

$$\sum_{i=1}^n F_\text{ext,i}=\sum_{i=1}^nm_ia_i=Ma_c\tag{1}$$

接著，上式的左項與右項分別對質心位移作內積[4]，可得：

$$W_\text{net,ext}=\sum_{i=1}^n F_\text{ext,i}\cdot\Delta r_c=Ma_c\cdot\Delta r_c\tag{2}$$

$$\therefore W_\text{net,ext}=Ma_c\cdot\Delta r_c=M\times\frac{\vert v_{c,f}\vert^2-\vert v_{c,i}\vert^2}{2}\tag{3}$$

$$\therefore W_\text{net,ext}=\frac{1}{2}M\vert v_{c,f}\vert^2-\frac{1}{2}M\vert v_{c,i}\vert^2=E_\text{kc,f}-E_\text{kc,i}=\Delta E_\text{kc}\tag{4}$$

嚴格說來，這裡得到的「動能」並非「總動能」，而僅僅是「質心動能」。

$$\sum_{i=1}^n E_\text{k,i}\neq E_\text{kc}\tag{5}$$

二、將質心位移視為作用點位移有什麼不妥嗎？

(1) 懸垂於桌邊之繩滑落於地的過程

試著想想我於《重力對懸垂於桌邊之繩做的功》的分析，假若我們將功的定義改為作用力對系統質心位移的累積量—而非作用力對作用點位移的累積量，那麼由於繩向下加速，所以桌子透過正向力對繩子做負功；也就是說，繩子將能量傳遞至桌子。

(2) 走路

不僅如此，當人在往前行走時，由於靜摩擦力平行於人的質心速度，所以地球總是透過靜摩擦力對人作正功。當然，當你拿起鉛筆時，鉛筆也的確受你施予它的靜摩擦力作功，但你也會同意走路時有獲得源自地面的能量嗎？

(3) 作恆溫壓縮且質心靜止不動的理想氣體

$$W=-\int pdv=-nRT\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)>0\tag{6}$$

為什麼我們「應該」認為外界對系統作正功—外界傳遞能量給系統—呢？反正根據原先的（質心）功能定理，此理想氣體質心動能為始終為零，所以作功也為零，看似沒什麼問題。然而，那我們又該如何解釋「系統能量（質心動能）守恆、外力不作功，但同時向外界釋放熱能」呢？

在此理想氣體作恆溫壓縮時，實驗顯示，外界勢必同時得到來自系統的熱能。除非我們否定熱能的存在，否則我們勢必得承認，原先的「外力對系統質心位移的累積量」的功本身不具有任何的「能量意義」。

(4) 懸於空中等速旋轉的輪胎

倘若系統動能必然「只是」質心動能，那麼不管轉速多大，其（質心）動能必為零。

$$E_\text{kc}=0\neq\frac{1}{2}I\omega^2\tag{7}$$

不僅如此，若要使輪胎由靜止開始旋轉，那麼我們「應該」需要給予輪胎能量。然而，由於功定義為「力量對質心位移的累積量」，所以我們無論如何都沒有給予輪胎能量。然而，作為施力者的我們的質心肯定有位移，也就是說，施力者與輪胎的總質心動能不守恆。

$$\Delta E_\text{k,us}+\Delta E_\text{k,tire}\neq0\tag{8}$$

如此一來，以「力量對質心位移的累積量」定義的功，就會有如下關係：

$$W_{\text{us}\to\text{tire}}\neq-W_{\text{tire}\to\text{us}}\tag{9}$$

這樣的話，能量就會無中生有，我認為此時「能量」也失去意義了。（能量之所以存在，其最重要的理由莫過於它具有守恆的性質。）

(5) 木塊與桌面摩擦產生的熱能

Sherwood(1984) 認為（詳見〈假功與真功〉），上述的假功（pseudo-work）不適合處理常見的摩擦力作功問題，試想你推著冰箱等速移動（考慮地面摩擦），於是我們寫出下列功能定理。

$$W_\text{net,ext}=\left(+fd\right)+\left(-fd\right)=\Delta E_\text{k}=0\tag{10}$$

我們都會「同意」這是對的，只要所謂的「動能」是「質心動能」。不過，身為老師的我們又會同時對學生補問一句：「你們知道我對冰箱作的功—也就是我給冰箱的能量—跑哪去了嗎？」。聰明伶俐的同學們就會異口同聲地說：「地面會變熱，所以變成熱能去了！」雖然大家都接受以下的能量恆等式，知道冰箱與地板的熱能是增加了。

$$E=E_\text{k,total}+U_g+U_e+U_s+U_\text{int}+\cdots\tag{11}$$

然而，我們卻始終無法使用熱力學第一定律，使得我們的主角不再只是系統的部份能量—質心動能，而是系統的「總能量」，因為我們似乎沒有能力寫下摩擦力作的「功」。

$$\Delta E=Q+W=Q+\sum_{i=1}^n\left(F_\text{i}\cdot\Delta r_\text{i}\right)\tag{12}$$

關於使用熱力學第一定律解決此問題的方法，需要很大篇幅說明，有興趣的讀者可以參考 Sherwood 與 Bernard 的論文。由於這方法不好學，所以也有教授提出跳過功（$W$）與熱傳（$Q$）的解法[5]。針對一木塊在桌上滑行的情況，第一步是透過動量守恆算出末速，然後使用能量守恆定律得知內能與質心動能守恆。最後，再透過物體具有的熱容量性質，就可算出木塊與桌子的末溫，可參考〈摩擦力作功的意義〉。

還有許許多多類似的理由，可以讓我們明白，最好不要將「作用力對質心位移的累積量」視為「功」：

$$W_{F_i}\neq F_i\cdot\Delta r_c\tag{13}$$

雖然「作用力對質心位移的累積量」可以算得出來，但它並不具有傳遞能量的意義，以下才是真正的「功」的定義：

$$W_{F_i}\equiv F_i\cdot \Delta r_i\tag{14}$$

三、力學能守恆定律的地位是什麼？

如果有個定律可以「被推導」出來，如同伽利略的自由落體定律可以從牛頓的重力定律被近似地演繹出來，那麼根據科學哲學中的律則演繹說明（Deductive-nomological model, DN Model）[6]，它的地位自然就比演繹出「力學能守恆式」的更普遍的定律還要低了。

• 普遍定律：牛頓第二定律
• 先行條件：多質點系統之質心
• 結論：假功能定理（Pseudo-work Kinetic Energy Theorem）

當然，就某種程度而言，上述的先行條件可說是無條件，所以建立於「假功能定理」之上的「力學能守恆定律」就根本可被改寫為經尤拉擴充後的牛頓第二定律了，「力學能守恆定律」彷彿變成了一種吊書袋的說法。不過，就我剛才提到的「等速旋轉的輪胎」的例子來說，質心動能似乎不是個守恆量，那「能量」一詞是否仍有意義就是個有更大討論空間的事了。關於能量守恆定律的意義，可以參考 Marc Lange 教授著的《An Introduction to Philosophy of Physics: Locality, Fields, Energy, and Mass》，Bertrand Russell 提到的因果的時空局域性（Spatio-temporal Locality of Causality）在物理哲學這方面的探討有相當重要的地位[7]。

對我而言，我認為「真正的」力學能守恆定律如同牛頓第二定律，都是不可互相化約的物理定律。不少老師認為牛頓第二定律可以直接化約到物理教學中的靜力平衡實驗等等，我認為這是太粗糙的想法[8]，畢竟在19世紀，就連力量到底是不是向量都是相當有爭議的[9]。當然，如果老師只是想透過這實驗讓學生「接受」牛頓第二定律，那這是另一回事。

四、對（假）力學能守恆定律的檢討

常見的力學能守恆定律，其實是「系統之合外力做功等於質心動能變化」。我們於高中二年級下學期學的「功與動能」本質上就是早已學過的適用於多質點系統的「牛頓第二定律」，只是換套說法罷了。也就是說，由（假）功能定理推導出的力學能守恆式，充其量只是在物體只受重力、電力、彈力等保守力的情況下的牛頓第二定律而已，本身並不含有能量的意義。無奈的是，仍有些題目不可使用這種「質心版本的力學能守恆式」[10]，像是我之前處理的《重力對懸垂於桌邊之繩做的功》。解決這種題目所應該列的第一條算式，就是如同 $F=ma$ 無法再被化約、改寫、推導的能量守恆定律——熱力學第一定律[11]。

$$E=E_\text{k,total}+U_g+U_e+U_s+U_\text{int}+\cdots\tag{15}$$

$$\Delta E=Q+W=Q+\sum_{i=1}^n\left(F_\text{ext,i}\cdot\Delta r_i\right)\tag{16}$$

• 系統處於絕熱狀態，並將物體（例：不考慮阻力的下墜剛體）以及重力場視為系統。

$$\Delta E=\Delta E_\text{k,total}+\Delta U_g=0+W=\sum_{i=1}^n\left(F_\text{ext,i}\cdot\Delta r_i\right)\tag{17}$$

關於上述熱力學第一定律的實例應用，則需另文說明。國外學者通常稱這種「以質心位移取代作用點位移」的功為假功（pseudo-work），私心希望能將此觀念、稱呼帶到台灣的物理教育中。假功遇到的麻煩不僅僅是不太能處理涉及「熱能」的問題，也因假功對應的質心動能不在各系統間守恆、互相傳遞，使得假功本身不應該具有任何「傳遞能量」的意義。唯有熱力學第一定律，才具有能量的意義；唯有「力量對作用點位移的累積量」，才具有「真功」的傳遞能量的意義。

最後，值得一提的是，多數老師之所以想透過牛頓第二定律「推導」出「力學能守恆方程式」（或功能定理），就是為了借用「牛頓定律」之名來為 $\frac{1}{2}mv^2$ 與 $mgy$ 賦予「能量意義」。也就是說，同學對重力位能定義式的質疑將終結於那條「力學能守恆方程式」，動能與位能的概念也就藉此偷渡到學生的心裡了。然而，動能之所以為 $\frac{1}{2}mv^2$，位能之所以為 $mgy$，該如何不利用這種「彷彿真有這麼一回事的力學能方程式」使同學接受它們，那就需要另文說明了。

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[1] Robert P. Bauman(1992) Physics that textbook writers usually get wrong.
[2] B. A. Sherwood and W. H. Bernard(1984) Work and heat transfer in the presence of sliding friction.
[3] 注意，下式的 $F_\text{ext,i}$ 並不等於 $m_ia_i$，下式的第一項原本是各質點合力的「總和」。
[4] 如果你對任意質點的位移（作用點位移）作內積，那就沒辦法整理出方便且有物理意義的結果了。此外，千萬不可混淆「合力對質心位移的累積量」與「作用力對其作用點位移累積量的總和」。

$$\left(\sum_{i=1}^n F_i\right)\cdot\Delta r_c\neq\sum_{i=1}^n\left(F_i\cdot\Delta r_i\right)$$

[5] Carl E. Mungan(2007) Thermodynamics of a Block Sliding Across a Frictional Surface.
[6] 參考陳瑞麟教授的《科學哲學：假設的推理》，第53頁。
[7] 請參考 Stanford Encyclopedia of Philosophy 於 Causal Processes 的解說。
[8] 請參考 D. M. Armstrong 的《What is a Law of Nature？》
[9] Marc Lange(2010). Why do forces add vectorially? A forgotten controversy in the foundations of classical mechanics.
[10] 令人遺憾的是，許多老師在講解觀念時，雖然是以「力量對質心位移的累積量」的假功來說明（假）功能定理，但在解題時卻仍是使用「力量對作用點位移的累積量」作為「功」的意義。
[11] 可參考諾貝爾化學獎得主姜⦁范恩（John B. Fenn）教授於《熱力學練功寶典—熱的簡史》第七章〈熱即是功，功即是熱，相去惟能〉的說明。或者是麻省理工的開放式課程講義〈First Law of Thermodynamics〉。

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也許你也有興趣閱讀：

• 《摩擦力作功的意義》
• 《重力對懸垂於桌邊之繩做的功》

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