寫這串系列筆記的目的是，希望我對於正則系綜（Canonical Ensemble）的配分函數（Partition function）來龍去脈，有比較清楚的認識，而不只是把它背起來、知其然但不知其所以然。在我寫完第一篇〈熱力學的統計基礎— Ω(N,V,E) 與 P, T, μ 的關係〉後，我發現，比起直接一眼看過原文書，寫成一篇文章確實踏實多了！於是，我想繼續緊接著寫第二份筆記，希望可一路走向正則系綜的配分函數。這篇筆記是 Pathria 的 1. 4 節——〈The Classical Ideal Gas〉。
雖然藉由理想氣體推得的諸多結果僅能作為實際情況的「近似值」，但這非常有助於我們了解許多事情。例如，我們可因此更直觀地了解波茲曼常數的物理意義等。而我們的首要任務，就是去推敲，究竟理想氣體的微觀態數目 Ω(N,V,E) 該如何寫下來。
我們首先假設，不論粒子的內在結構（internal structure）為何，各粒子間都不存在著交互作用（noninteracting）。因此，不管眼前這顆粒子是什麼，它在各位置上出現的機率都獨立於其他粒子當前所在位置。進一步而言，N 顆粒子能在此空間中分布的可能總數，即為每個粒子能在空間中分布的可能數的乘積。倘若系統粒子數與總能量都固定，那麼每顆粒子在體積為 V 的空間中之分佈可能數就應正比於體積 V。因此，我們的系統微觀態可能數必然正比於 V 之 N 次方：
$$\Omega (N,E,V)\propto V^N\tag{1}$$
由於我們已知（見筆記1）微觀態總數對體積偏微分的結果為何，所以代入可得理想氣體方程式，
$$\because\eta\equiv\left(\frac{\partial \Omega}{\partial V}\right)_{N,E,V=\bar{V}}=\frac{P}{kT}\tag{2}$$
$$\therefore \left(\frac{\text{ln}\Omega(N,E,V)}{\partial V}\right)_{N,E,V=\bar{V}}=\frac{N}{V}=\frac{P}{kT}\tag{3}$$
$$\therefore PV=NkT\tag{4}$$
對我而言，這確實是滿振奮人心的結果！另外，上述的 P, V, N, T 都是達熱平衡下的值。為了得到更進一步的理想氣體系統之熱力學性質，我們必須設法計算，或者說，估算出 Ω(N,V,E)。而所謂的微觀態總數 Ω(N,V,E)，就是滿足下列兩條件的所有可能解的數目：
$$E=\sum_i n_i\varepsilon_i\tag{5}$$
$$N=\sum_i n_i\tag{6}$$
那我們該如何出發去解這個問題呢？在量子物理（參考 Griffiths）中我們學到，針對處於體積為 V=L3 的一個非相對論性的自由粒子，在波函數 
於方形盒子邊界之值為零的約束條件下，我們知道其能量為：
$$\varepsilon(n_x,n_y,n_z)=\frac{h^2}{8mL^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)\tag{7}$$
其中 都屬於非負整數，沒有皆為零即可。接著，讓我們換個角度來看待這方程式。由於這三個整數共同決定了能量為 的粒子的波函數，所以說，對於一個能量為 的粒子而言，它所有可能的波函數的數目，即是滿足下列球面方程式的正整數解。
$$n_x^2+n_y^2+n_z^2=\frac{8mV^{2/3}\varepsilon}{h^2}\equiv\varepsilon^*\tag{8}$$
其中，我們將那一團數量定義為一種等效能量 。因此，只要我們能知道，在這八分之一的球面上（因為只考慮非負整數解）所有的正整數解的總數，那麼就等同於知道，一個粒子在體積為 V，且其能量 E = ε 的微觀態數目Ω(1,V, E)。接著，讓我們將此結果擴充到具有 N 個彼此沒有交互作用的全同粒子系統中。首先，我們將所有粒子之上式加總起來，為此我們對每個 n 值給上一個下標 i，用以標記此為第 i 個粒子。
$$\because\sum_r^{3N}n_r^2\equiv\sum_i^N\left(n_{x,i}^2+n_{y,i}^2+n_{z,i}^2\right)\tag{9}$$
$$\therefore\sum_r^{3N}n_r^2=\frac{8mV^{2/3}\sum_i\varepsilon_i}{h^2}=\frac{8mV^{2/3}E}{h^2}\equiv E^*\tag{10}$$
因此，針對總能量為 E 的 N 個互不作用之全同粒子系統而言，滿足在 $3N$ 維度上之 “$1/8$” 球面（或說，$1/2^N$ 球面）的所有非負整數解的總數，就是這系統的微觀態數目 $\Omega(N,V,E)$。下個問題就是，這又該如何解呢？因為此微觀態數目必為 $E$ 之函數，所以此系統的熵值也就必然是 E 的函數。進一步而言，它就是 $V^{2/3}E$ 之函數。由此我們可知，
$$S=S(N,V^{2/3},E)\tag{11}$$
因此，對於粒子數目 $N$ 與熵值 $S$ 都固定不變的熱力學過程——亦即可逆之絕熱過程——而言，此理想氣體的系統壓力（見筆記1）為：
$$P=-\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{N,S}=\frac{2}{3}\frac{E}{V}\tag{12}$$
也就是說，對非相對論性、沒有交互作用的理想氣體系統而言，其壓力就是 2/3 倍的系統能量密度。話說回來，針對可區分的（distinguishable）$N$ 個理想氣體粒子而言，在下式的 $3N$ 維度、半徑為 $\sqrt{E^*}$ 球面上的晶格點數目（非負整數解）才是此系統的總微觀態個數 $\Omega(N,V,E)$。換言之，若是不可區分的（indistinguishable）系統，就並非如此。
$$\sum_r^{3N}n_r^2=E^*\tag{13}$$
而我們無法直接計算滿足它的非負整數解究竟有幾組，亦即無法直接得知 $\Omega(N,V,E)$——或者說 $\Omega_N(E)$，並且，$\Omega_N(E)$ 是一個隨 $E$ 變動極大的函數，所以與其直接近似 $\Omega_N(E)$，不如近似所有總能量不大於 E 之系統微觀態數目，$\sum_N(E^*)$：
而這個值，就是在 $3N$ 維度的 “$1/8$” 球面內部的所有晶格點個數。在 Pathria 中的附錄有提到這個值的計算方式，其結果如下：
由此我們就能開始近似 $\Omega_N(E^*)$。不過，在那之前，我們需要使用史特林近似公式：
$$\ln(n!)\approx n\ln n-n\tag{16}$$
於是，我們得到：
$$\ln\sum(N,V,E)\approx N\ln\left[\frac{V}{h^3}\left(\frac{4\pi mE}{3N}\right)^{3/2}\right]+\frac{3}{2}N\tag{17}$$
照理來說，我們應接著討論如何由此得出在特定能量 E 下的微觀態總數 Ω(N,V,E)，不過我們需要先談談關於系統能量 E 的性質。理論上，倘若系統能量是明確、單一的值，那麼我們也無法得出此系統易讀且易操作（well-behaved）的熱力學函數。另一方面，實際上，系統的能量也不可能是唯一的值，畢竟系統與外界不可能完全隔絕，哪怕只有一點點能量流失、流入，那也得考慮在內。因此，我們沒辦法明確定義系統的能量為何（its energy cannot be defined sharply）。不過，能量的變化範圍，相較於系統能量本身，必定是個滿小的數字。因此，我們假設系統能量介於 E – Δ/2 與 E + Δ/2 之間，並且 Δ 遠小於 E。基於這個假設，我們可得出，以能量 E 為中心、Δ 為變異振幅的系統微觀態數目 $\Gamma(N,V,E;\Delta)$(N,V,E;Δ)：
$$\Gamma(N,V,E;\Delta)\approx\frac{\partial\sum(N,V,E)}{\partial E}\Delta\tag{18}$$
由先前的 ΣN(E*) 可觀察出它對 $E$ 的關係是 $3N/2$ 次方，
我們可得出
$$\Gamma(N,V,E;\Delta)\approx\frac{3N}{2}\frac{\Delta}{E}\sum(N,V,E)\tag{20}$$
因為我們已有 ΣN(E*) 的自然對數近似值，所以我們對上式取自然對數可得：
$$\ln\Gamma(N,V,E;\Delta)\approx N\ln\left[\frac{V}{h^3}\left(\frac{4\pi mE}{3N}\right)^{3/2}\right]+\frac{3}{2}N+\left[\ln\left(\frac{3N}{2}\right)+\ln\left(\frac{\Delta}{E}\right)\right]\tag{21}$$
接著我們討論後面大括號中的那兩項，在粒子數非常多時，相較於前面幾項的效果。首先是大括號中的第一項，$\ln(N)$ 的發散速度是小於 $N$。至於第二項，以任何合理的 $(\Delta/E)$ 而言，必然也是遠小於最前方的 $N$，所以最後的大括號是遠小於前面幾項的。因此，
$$\ln\Gamma(N,V,E;\Delta)\approx N\ln\left[\frac{V}{h^3}\left(\frac{4\pi mE}{3N}\right)^{3/2}\right]+\frac{3}{2}N\tag{22}$$
而這意思居然相當於，
$$\ln\Gamma(N,V,E;\Delta)\approx\ln\sum(N,V,E)\tag{23}$$
這代表著，能量位於 $E-\Delta/2$ 與 $E+\Delta/2$ 之間的微觀態數目，約略等同於能量位於 $0$ 與 $E$ 之間的微觀態數目。換句話說，大部分的微觀態都集中在能量 $E$ 的”$1/8$球殼晶格點”上方。這個現象可以由下式 ΣN(E*) 的 $3N/2$ 次方看出來，因為 $N$ 十分得大，所以大多數的微觀態自然是落於 $E$ 之上了。
結論就是，具有實際物理意義（能量介於 $E-\Delta/2$ 與 $E+\Delta/2$ 之間）的微觀態數目 $\Gamma(N,V,E;\Delta)$，對其取自然對數後，約略為
$$\ln\Gamma(N,V,E;\Delta)\approx N\ln\left[\frac{V}{h^3}\left(\frac{4\pi mE}{3N}\right)^{3/2}\right]+\frac{3}{2}N\tag{25}$$
根據波茲曼對熵值 $S$ 的定義，我們可以得出：
$$S=k \ln\Omega(N,V,E)\approx k\ln\Gamma(N,V,E;\Delta)\approx N k \ln\left[\frac{V}{h^3}\left(\frac{4\pi mE}{3N}\right)^{3/2}\right]+\frac{3}{2}Nk\tag{26}$$
也就是說，
$$S(N,V,E)\approx Nk\ln\left[\frac{V}{h^3}\left(\frac{4\pi mE}{3N}\right)^{3/2}\right]+\frac{3}{2}Nk\tag{27}$$
倘若我們將函數改寫為 $E(S,V,N)$，那麼就能更方便代入許多熱力學偏微分轉換式，得出溫度、壓力與化學勢的函數。
$$E(S,V,N)\approx\frac{3h^2 N}{4\pi mV^{2/3}}\exp\left(\frac{2S}{3Nk}-1\right)\tag{28}$$
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勸你統計力學不要讀Pathria，裡面有錯誤，大錯。
不知道方便分享錯誤的地方嗎？感謝！
實在抱歉，我目前手邊沒有Pathria，不太能明確指出特定的錯誤，不過統計力學的書的確是沒有一個經典，我推薦F. Reif寫的Fundamentals of statistical and thermal physics (1965)，這本書不錯，不過你可能會覺得他不夠難。 Kerson Huang的書又太老了。
現代統計力學的應用，你可以看看James Sethna的Statistical mechanics, Oxford U. Press.
一個被現實折磨到發瘋的人留
感謝您的推薦，老實說，我脫離物理有點久了，未來不知道還有沒有機會好好認真讀一次物理的書。上一次接觸統計物理是在讀〈Compendium of the foundations of classical statistical physics〉這篇論文的時候，未來會多多參考別本的書。其實我讀 Pathria 時也覺得很多地方很奇怪，好像是關於 ensemble 與 microstate 的關係讓我覺得很奇怪。雖然我因為經常在固態物理中接觸到 canonical ensemble 的機率分佈 $P_i=e^{\beta E_i}/ \sum e^{\beta E_i}$，但我仍不是說很清楚這些知識。
感謝推薦！
話說Canonical ensemble的機率分布，分母的那個和叫做partition function，在統計力學裡面蠻重要的。用partition function可以進一步得知各種巨觀的物理量，如系統自由能、壓力這些的。所以求此函數就變成一個重要課題。舉個例子(我現在也很久沒唸這個了，已經忘記很多東西了)，像是理想氣體的系統，用一些量子力學弄出partition function，理想氣體方程式即可由此而得知，很強大的。 KITTEL先生有寫一本熱物理的書，算是給大學生看的統計物理，但我覺得如果是第一次學又是自己唸沒有人帶領的話，這本書會變成惡夢，要念懂並非容易事。(也可能是小弟資質愚鈍啦)
哈，我想我未來應該沒時間再唸這些物理了 XD 但人生能夠有那麼點機會一虧物理的奧妙，實在是很幸運呢！
剛剛打了一篇長文想要發表一些看法，無奈網頁突然罷工，全部都消失了。那就等有心情時再打一篇吧！現在只想問一個比較私人的問題，你有學過古典電動力學嗎？
有哦，我以前也順便把電機系的電磁學也修了 XD 當時本來要去電信所的，只是後來怕在台灣不好賺錢，所以就去電子所固態組了 QQ 我對古電最有印象的大概是 Green's function，因為這我在物理數學也有接觸到 XD 但我也仍不是很懂哈哈。另外就是電機系的 transmission line 與 antenna，真的滿酷滿有趣的！比較遺憾的是我到現在都還沒好好讀 Griffiths 最後的相對論…….希望這輩子有時間讀 QQ
我就是想說Green的故事，他真的是很聰明、毅力也很強的人呀！這位格林先生年輕時只上過14個月的小學，就回家當磨麥風車的工人了。但是他工作之餘，不忘自己研究物理數學，最後40歲時才很幸運地透過一些機緣，進劍橋大學念書。真的是個天才，而且當時諾丁漢是鄉下，身邊懂數學的朋友也寥寥無幾，這種環境下還能堅持做學問，是我一輩子學習的典範。Green function物理很常用，不只電磁，其他地方也有大量使用。不知你看過那些電磁書？除了Griffiths, Jackson之外。
一些題外話，偶然間看到這間公司的求職資訊，真心覺得台灣本土好像找不到這種工作。https://apsdfd2015.mit.edu/sites/default/files/documents/industry%20page%202.pdf
這樣來說，台灣產業發展很畸形，好像完全不為過？
我覺得做理論科學真的有時犧牲不小 ORz… 話說我另外讀過兩本電磁學，一本是電機系用書 Rao 寫的，另一本是 Applied Electromagnetism by Liang C. Shen (Author), Jin Au Kong (Author)
大概都全部都讀過，後面一本是幾年前幫一位電機系教授打工，他好像應出版社的邀約要幫這本書改版挑錯誤，而我就負責幫他快速讀過一次，看看有沒有哪裡有問題。
https://www.amazon.com/Applied-Electromagnetism-Pws-Engineering-Foundation/dp/0534947220
可是我現在應該都忘了很多…Orz 印象比較深刻的大概是一些等效電路之類的，像是變壓器的什麼等效電路XD
您貼的那樣的職缺…台灣可能真的很少吧。台灣有在研發高科技的企業大概一隻手數得出來？大概只有台積電嗎….
對了，你以前在台大化工系的時候，有到物理系修課嗎？還是物理課都是後來進物理系之後才去修的？我很佩服你的毅力，也很同情你的家庭狀況。不安全感給人的影響是非常大的，你在你的人生已經做了相當精彩的表演了。
此外，我覺得你對於自己的自信程度拿捏的很好。有些人可能很容易好高騖遠，到最後一無所有；也有人會過度憂慮，把自己折磨個半死，做太多不必要的想像。你總是依照自己腳步，踏實的做好、學好每件事物，也似乎不太受身外之物影響，不會表現的極端。心理素質很強健！我真心佩服你。
這種心態的養成都是因為鑽研哲學的效果嗎？
哇，我真是意外會在這看到如此窩心的留言 XD 真的很感謝您啊，我實在是很感動。謝謝你有看了我的故事，感覺更不寂寞哈哈。實不相瞞，我仍然覺得自己的心理素質並不太好。可能是因為您只看見了我在網誌上的發表之類的，其實我在生活中還是不免會有很多不愉快，不過大多都是來自與碩班教授的相處….XD
具體來說，2017-2019 這段時間我去了很多次諮商，大概是每個月去一次。初期我還同時去兩間諮商室。便宜的 200/0.5hr＆貴的 2000/hr，分別聊不同議題。幫助我最大的絕對是諮商師了 ^^ 其實哲學在我的心理素質上並沒有什麼幫助，反而是讓我更加鑽牛角尖。讀哲學時，可能因為成長背景的緣故，我比他人更悲觀與負面，這使我更容易緊抓著某些讓我「安心」的哲學立場不放。例如當年我非常熱愛康德義務論，我借了那本 The Groundwork of metaphysics of morals 來讀，讀了整整半本。然後我天天用他的絕對律令（categorical imperative）去思考我的行為是否合乎道德。其實我也不太確定為什麼當時那麼在乎道德，可能是很害怕生活在效益主義的世界中吧，對自己的「競爭力」很自卑，覺得自己根深蒂固地輸他人一大截（從小窮怕了），要是大家都以自身(或群體)利益來行為，那麼我就得也跟著這麼做(?)，但是我不想承認我害怕跟人競爭，所以我說我「不想要」這種似乎需要競爭利益的道德立場，所以力倡一個「看似比較不強調競爭，只強調人權義務」的道德立場。這部分不是什麼推論，而是我內心的感覺而已….。
以上看看就好，我也打得不太清楚哈哈。總之我只是想說，其實哲學反而放大了我的心理弱點。是諮商讓我鼓起勇氣面對自己的需求，然後接受社會的挑戰（各種競爭等等的）。
至於化工系嘛，有哦，我那時先去修了….光電所的量子物理及其應用(70分)，接著修物理系電磁學下XD，拿了87分哈哈。後來修物理系電磁學上，拿A-（台大開始改掉百分制）以及電機系電磁學二（我當年居然停修了XD）。接著，同樣是在化工系時期，我下個學期修了電機系電磁學一，拿A+，再下一個學期則是修電機系電磁學二，拿B…哈哈
光電所量子物理與應用(70) (用Sakurai)
物理系電磁學下(87)
物理系電磁學上(A-)
電機系電磁學二(停修)
電機系電磁學一(A+)
電機系電磁學二(B)
以上就是化工系修的相關物理課程 XD 當時我真是隨便修啊….
真是個可愛的歷程啊。
不知當兵有讓你產生什麼影響嗎？或是到那邊有使你腦袋暫時放鬆，什麼都不想，類似原本頭腦已經很累，身心快出狀況，進去營區就是刻意讓腦袋休息，退伍後恢復一開始的腦袋戰力？
或許是因為我有相當不好的成長經驗（家庭暴力、父母為錢大吵，甚至因此動手、各式各樣的言語羞辱），使得我很能理解你的遭遇及其帶來的各種影響。社會上有很多家庭失和、經濟條件不好的弱勢族群，這些人真的都辛苦了，尤其是那些沒有走歪的，沒有變成8+9真的非常難能可貴。
話說去物理系修電磁學，一開始就修下，跳過上，真的蠻厲害也蠻有勇氣的。而且那時怎麼幾乎都只修電磁學XD，
（然後只有一門QM，而且還是Sakurai，這樣如果碰到要在其他物理課先學到的東西，不是就很容易卡住想不通嗎？）
，然後其他領域就沒有修了。
我有看過諮商，不過我覺得效果不好，我倒覺得大量運動，真的要很大量喔，然後要是真的累了，生活提不起勁就暫時離開原本的位置，去做些如單車旅遊（首選，而且距離要長，如蘭州騎到拉薩）、徒步旅遊、打工換宿、志工，甚至還沒當兵的去把兵當一當，然後入伍什麼都不要想，被長官罵也全部都當耳邊風，讓腦袋休息一陣子。
可惜不是每個人經濟都許可，但願貧富差距越來越小（可惜這在台灣不可能發生）。
「不知當兵有讓你產生什麼影響嗎？或是到那邊有使你腦袋暫時放鬆，什麼都不想，類似原本頭腦已經很累，身心快出狀況，進去營區就是刻意讓腦袋休息，退伍後恢復一開始的腦袋戰力？」
當兵哦，我也不知道有沒有什麼影響，但在裡面滿多故事的 XD 不管是在大兵日記寫到讓某班長哭（我後來也因壓力大也哭，哈哈），還是對連長拍桌叫他拿出錄音機，還是被營長約談，還是對班長嗆說掃地根本沒意義，還是對高雄空軍航校教官說「你根本浪費納稅人的錢！你根本對不起國父孫中山！」，嗯…很多故事哈哈。不過我也在裡面讀了很多書，像是：
1. 彭孟堯的《基礎邏輯》、《知識論》
2. 王文方的《形上學》
3. 費曼物理學講義(I)-1~4
4. 愛因斯坦的《狹義與廣義相對論淺談》
5. 笛卡兒的《第一哲學沉思集》
6. 梭羅的《湖濱散記》、《公民不服從》、《沒有原則的生活》
7. 弗洛姆的《愛的藝術》
8. 阿德勒的《自卑與超越》
9. 施羅曼．費德林史坦合著(辛德謨譯)的蔣介石傳
10. Gombrich的《寫給年輕人的簡明世界史》
11. 陳瑞麟的《科學哲學：假設的推理》
12. 李天命的《語理分析的思考方法》
13. 柏拉圖全集(I)
14. 色諾芬的《回憶蘇格拉底》
15. 杜威的《民主主義與教育》
尤其是我把《基礎邏輯》的習題全部（每一題）都寫完了XD 我想讀書大概是對我影響最多的吧！之所以記得很清楚，是因為幾年前有在 ptt 跟別人分享過 XD
Re: [請益] 目前當兵想找長知識書籍看
「或許是因為我有相當不好的成長經驗（家庭暴力、父母為錢大吵，甚至因此動手、各式各樣的言語羞辱），使得我很能理解你的遭遇及其帶來的各種影響。社會上有很多家庭失和、經濟條件不好的弱勢族群，這些人真的都辛苦了，尤其是那些沒有走歪的，沒有變成8+9真的非常難能可貴。」
很感謝你的肯定！我妹大概就是走歪了，吸毒，未婚生子，她的婆婆與先生還一起吸毒。我幫她兒子繳了幼稚園的註冊費（才一次，因為實在沒時間多接家教了）等等的。不過我也幾年沒跟他們聯絡了，所以講「妹妹」好像滿奇怪的，根本可以說不認識。
一切的一切，只能說我運氣好。後來我運氣也很好，可能是因為我的努力有被看見，有兩位同學的父母在不同時期（物理系＆電子所）支助我生活費（15k / 月），所以我才能夠專心讀書做研究 ^^
「話說去物理系修電磁學，一開始就修下，跳過上，真的蠻厲害也蠻有勇氣的。而且那時怎麼幾乎都只修電磁學XD，（然後只有一門QM，而且還是Sakurai，這樣如果碰到要在其他物理課先學到的東西，不是就很容易卡住想不通嗎？）」
不是勇氣，而是無知，哈哈。我當時只是跟系上一位同樣對物理有興趣的同學去修課，沒有想太多，只是想試試看而已。後來因為修了一個電磁學，所以就索性也把其他的也修了 XD 我那個量子物理及其應用這堂課，90%都不會，最有印象的大概只有氫原子模型的推導吧哈哈，就是用薛丁格方程式解出那些量子數。
「我有看過諮商，不過我覺得效果不好，我倒覺得大量運動，真的要很大量喔，然後要是真的累了，生活提不起勁就暫時離開原本的位置，去做些如單車旅遊（首選，而且距離要長，如蘭州騎到拉薩）、徒步旅遊、打工換宿、志工，甚至還沒當兵的去把兵當一當，然後入伍什麼都不要想，被長官罵也全部都當耳邊風，讓腦袋休息一陣子。可惜不是每個人經濟都許可，但願貧富差距越來越小（可惜這在台灣不可能發生）。」
很高興你找到自己的方式去讓自己放鬆，小弟我目前可能因為還沒有家累，加上有人資助以及自己也有在接家教，時間有限，所以就偏向去諮商 XD 不過這半年大概只去了兩次，實在太忙了，而大多問題自己也有越來越成熟地去面對，所以也還 ok 🙂 我很想去單車旅遊，但我同時也想做好多事，今天又手癢借了兩本滿難的書，分別是《Wave mechanics of crystalline solids》以及《Recombination in semiconductors》，要來好好研讀研讀，這跟我的研究滿有關係 ^^
祝福你哦！對不起這兩週實在是忙得焦頭爛額，今早還去桃園龍潭中科院參加期中報告（教授上台報告），下午聽同學口試 XD 謝謝你的留言與我分享你的心路歷程，收穫滿滿！ ^^
如果是比較進階的凝態理論，可以看的書選擇也是蠻多的
(・ω・)ノ
我記得我修統計力學的時候，老師提到由 Canonical Ensemble （正則系綜）得到的Partition Function （配方函數）對應到的物理量是 Free Energy $F$；Micro-Canonical Ensemble （微正則系綜）主要操作的才是Multiplicity （組合數），對應到的熱力學量是 Entropy。這兩個系綜的差別是正則系綜是「系統加環境且交換能量」；微正則系綜是「系統」本身。
你的下一篇筆記裡面的那個是正則系綜，倒數第二個方程式是在「相空間積分」$\int d^{3n} p d^{3n}q \rho(p,q;t)$ 就是在求配方函數，從能量空間的求和對應到相空間的積分。
這是我聽課的記憶，然後老師就開始起飛了，所以我也忘記後面的內容。希望對你學習統計力學有幫助。
(・ω・)ノ
哇，謝謝你的分享，之後會來仔細想想 😀
(・ω・)ノ
如果你有興趣的話，我推薦你看 Greiner et al. 寫的 Thermodynamic and Statistical mechanics，這本書是我修統計力學的教科書，你可以從統計力學的章節開始看，到後半冊有講到量子統計，也是不錯的一本書。
(・ω・)ノ
感謝大大分享 😀 我對物理一直都有興趣，只是越來越忙，謝謝你推薦我這本書，我之後有空時一定會找來看看 😀