本體論示意圖（點圖至原圖來源）
來說說對國中理化教育的一點感想。這是我試著將我對科學源自神話的歷史研究，我對哲學本體論的一點了解，我對科學解釋與因果關係的了解，以及數學中的極限意義，引入理化教育的過程。最近我覺得物理學就是所謂的本體論。依照維基百科對本體論的簡介，本體論就是「研究到底哪些名詞代表真實的存在實體，哪些名詞只是代表一種概念」。因此，我昨晚在教國三理化時，因為這位同學本身數學程度不錯，所以嘗試了一點稍微不一樣的教學。稍微說一下他的學業程度。他就讀金華國中三年級，在我來教之前（昨天是第一堂課），他在包含牛頓定律、功與能量章節範圍的第二次段考拿到94分。在第一次上課前就已經跟他爸媽閒聊過 3-4 小時，昨晚課後也聊了 1 小時左右，應該是有約略了解他的狀況。而這篇也提供給可能想請我當家教的家長參考。
我問他什麼是合外力，他說不知道。我問說什麼是功，他說他也不知道，只知道是力量乘以位移。我說如果有兩個平行但反向的力量作用在一個木塊上，那麼”你有聽過將這兩個力量相減即為合力”的說法嗎？他說他沒遇過也沒處理過這問題。對我而言，他是沒有學好那些內容的。當然，也可以說是我要求太高。如果只就「能不能考高分」來看，他確實已經考很高分了，深信很多家長也非常滿足了。但我認為他可能無法走太遠。他的段考成績正好凸顯出我們的理化教育只是訓練「工匠」而已，從來沒有教學生何謂科學。不過，我正好也在反省我從一位台大哲學所朋友，許益新，從他的臉書動態上看到的一個想法——〈最重要的其中一個基本科學素養：實驗第一〉。所以，我也在想著底下的這些「理論」到底有沒有實際的價值。
我認為，關於合外力，他至少有能力舉例說明。例如，能夠使用牛頓第二定律解釋物體靜止於桌面，而非僅僅是使用牛頓第一定律（這是他後來的嘗試）。也許是他的語言組織能力還不夠好的緣故，當他使用牛頓第一定律說明物體靜止現象時，我認為他僅僅是將「合力為零」與「靜止」做簡單的相關連結，而沒有體會到力量是造成物體靜止的原因，尚未建立起因果連結（僅管根據 David Hume 的恆常連結⋯⋯XDD）。
為此，我特別進行如下教學，以下是我憑印象所整理的上課講稿，並不是完整的教學過程。實際的教學過程，當然還用到了相當多的紙筆計算以及電腦軟體的模擬動畫。
同學，在我這樣探問幾次後，我大概了解你處在知其然而不知其所以然的階段，所以我想趁你還有點之前補習班的老本可以吃的時候，稍微幫你複習一下直線運動、力與運動、功與能量。首先，我們要知道我們只能看見物體的位置，我們從來都看不見力量。這是什麼意思呢？舉例來說，如果我問你為什麼我手上的鉛筆在我手張開後會掉落到地上，你也許會因為先前的”洗腦”而給出了常見的”因為重力”答案，也就因為這樣，把力量視為真實（實在論的影子）。進一步來說，有沒有可能是因為有天使跟惡魔在打架，而就在我將鉛筆放開的瞬間，天使把撐住鉛筆的隱形圓柱拿去打惡魔，導致鉛筆就這樣掉到地板上？
你一定覺得我在胡扯。但你不得不同意，這也是一種解釋「鉛筆掉下去」的方法。我想請問，你有辦法證明我是錯的嗎？你一定會說，你沒看到天使與惡魔。但我也可以說我就是沒看到「力量」啊！力量長什麼樣子，你指給我看看？摸給我看看？我想藉此例子告訴你，就僅僅是為了解釋「鉛筆掉落」現象而言，我認為剛才的「天使與惡魔」例子確實是一個解釋。然而，我們卻不”採信”。為什麼呢？來，讓我給你看看所謂的奧卡姆剃刀（指著 iPad）。（上述為將神話與科學起源關係的應用例子，事實上，天使與惡魔解釋象徵的是過去的神話解釋。可參考〈淺談科學的起源——從神話開始〉）
簡單而言，這兩種方法雖然都能解釋，但為了採信「天使與惡魔」的解釋，我這方還得進一步解釋為什麼天使與惡魔剛好在這時吵架？為什麼有天使？為什麼有惡魔？相較於「牛頓定律的解釋」，早在幾百年前就有人爭論過力量的意義等，許多物理學家已經為「牛頓定律」找到好理由去相信它是真的（這個理由，就得從物理史才能得知）。相較之下，「天使與惡魔的解釋」會有更多理論「負擔」，因此，我們可以用這把「奧卡姆剃刀」把「天使與惡魔的解釋」剃掉。
（這裡我經常用到「…..好理由去相信….」等句子，這是我借用知識論中的傳統知識分析—— Justified true belief （知識即為被證成的真信念）——概念去幫助同學掌握自己接觸這些理論時的模糊感受。也就是說，有些叫做“不太知道“的感覺可能可稱為相信，有些叫做“知道“的感覺至少要相信且必須是要有好理由的相信。）
為什麼真的有所謂的天使與惡魔？我有什麼好理由相信天使與惡魔真的存在？你會發現我會有更多的「理論負擔」。至於常見的「力量解釋」呢？因為物體受到重力，所以向下掉。難道就沒有「理論負擔」嗎？當然有！14 世紀的尼克爾·奧里斯姆（Nicholas Oresme）甚至特地指出「物體下落時，重力並沒有增加」。你看，你是否曾經質疑過老師，為什麼物體下落時不是「越來越重」？而事實上，牛頓定律一直都不是人類一睜開眼就想到的，這是人類自亞里斯多德後，將近過了 2000 年才逐漸接受、相信的理論。換言之，我們有大量的好理由相信真的有力量的存在，但我們還不能夠說自己”知道”力量。其中一個好理由就是，它不僅可以解釋幾乎所有日常現象，你甚至也可以預測許多你尚未但即將要去做的自然實驗。（說明科學解釋在科學中的地位，以及用最佳解釋論證來處理爭議）
話說回來，為什麼我要講這些？我先前（上週的一兩小時試教）有跟你提過，我們在試著解釋自然現象之前，至少要先準確地描述自然現象。如果你連物體到底是變快還變慢都不知道，我們又該如何知道掌握物體運動的規律呢？因此，你有了基於描述運動現象而存在的「運動學」。這是我們俗稱「實然」的部分，也就是實際發生、存在的事物。物體到底怎麼動，就某種意義上，他是客觀的、無庸置疑的，這是可以被檢驗的。但是，到底什麼是力量呢？沒學過牛頓定律的人，他是不可能掌握這本書中對各種現象的「力學解釋」，並且一定將「力量」與「肌肉感受」混淆。然而，沒學過任何關於物體運動學問的人，他一定能感知物體就是在「那裡」。因此，我們的重點就在於——我們能確定的是客觀的運動，而怎樣解釋，是另一回事。
接著，我要來談談到底這幾章在幹什麼了。第一章，就是之前所說的，教你準確描述物體運動的方法。你說他很快，究竟有多快？你說他跑得越來越快？那麼這變化又有多快？而至於第二章與第三章，就是我們之後的重頭戲。關於這世界為什麼會有如此這般的規律，我們可以用接下來的兩個定律，或者說，兩個機制來去說明世界的運作方式。
第一個定律，是關於牛頓定律。第二個定律，則是能量守恆定律。不管是哪個定律，我都是在告訴你我們肉眼無法觀察到的「世界的”真相”」（企圖用本體論中，探討世界真實存在的實體是什麼的感覺去”引導”同學”朝向”「理解世界的運作規則」的角度來看待物理定律）。進一步來說，就是這個世界「背後的」運作方式。換言之，你從來都沒辦法看見能量，能量是什麼好像都只是「物理老師說了算」。而事實上，力量是什麼似乎也是「物理老師說了算」。
- 了解這世界的表象是由什麼組成的。表象分為兩個部分，一個是肉眼可見的物體位置與時間的變化，亦即運動。另一個則是你看不見的，存在於物體之間的「交互作用」，亦即力量。而除了那些肉眼看得見的物體以外，這世界還存在著其他的實體，就是所謂的能量，甚至是之前告訴過你的重力場（以本體論的角度去說明這些名詞的意義）。至於像是力量、能量甚至是質量的抽象名詞的意義，你就得由下面第二點去理解。
- 物體間的受力是服從牛頓定律的；能量的傳遞是服從能量守恆定律的。只要你能掌握這兩大定律，基本上你就可以了解那些名詞的意義。這些物理定律，就像是一隻手錶裡面的機械運作規則那樣。你看到的手錶指針是世界的表象，也就是運動。但背後運作的機制是藏起來而不易看見的。就是那些物理定律。
接著讓我們從運動學開始講起。
以上大概是我這次教國三理化的一點將哲學應用在教學中的嘗試，雖然說這是嘗試，不過這一直以來也都是我的風格。我總是會在上課時談一點類似的東西。雖然有很多專技名詞，不過我覺得同學們似乎是可以理解的，雖然的確是需要花不少時間與舉不少實例去刻畫那些抽象概念。昨晚在教完上述這些之後，我就接著檢驗他對於許多先前學過的概念，究竟是「理解」還是「背誦」。而第一個被我「抓到」的點，就是「 V-t 圖下的面積是位移」。
同學確實背起來了，可是它一直都不知道為什麼是這樣的。我說，這是因為物體的瞬時速度處處相同，所以任何時段的平均速度就剛好是這個瞬時速度。
$$\bar{v}_x=v_x(t)\tag{1}$$
其中，$\bar{v}$ 是在等速運動過程中，任意時段的平均速度。例如說，在 $0$ ~ $5$ 秒的過程中，物體作等速度運動。那麼 $\bar{v}_x$ 可以是 $3$ ~ $4$ 秒的平均速度，也可以是 $1.2$ ~ $3.8$ 的平均速度。畢竟，等速度運動過程中之任意時段內的平均速度，必定都相同。至於 $v_x(t)$ 則是在這 $0$ ~ $5$ 秒中，任意時刻的瞬時速度，例如 $v(3)$ 或 $v(2.3)$。
於是我說，任何時段的位移，當然就是平均速度乘以時距。而基於上述的結論，我們可以說出：
$$\Delta x=\bar{v}_x\Delta t=v_x(t)\Delta t=\text{Area}\tag{2}$$
這就是為什麼位移是 V-t 圖的底下面積了。但是，我緊接著問他，所以為什麼在等速度運動過程中，任何時段的平均速度，恰好就是瞬時速度呢？換言之，為什麼底下這公式是對的？
$$\bar{v}_x=v_x(t)\tag{3}$$
此時他有點愣住了。我看得出來他很渴望告訴我「就是因為，平均速度是位移除以時間，而位移就是面積啊，時間就是長方形的底邊長，所以就能得到瞬時速度了」。而他也的確告訴我這個想法。於是我緊接著告訴他什麼叫做「前提」、「結論」與「丐題」。我要問的就是推得「V-t 圖底下面積就是位移」的「前提」為什麼成立，我們不能夠將「結論」反過來視為理所當然，進而說明前提成立（而事實上，很多論證之結論的成立並不見得能反推出其前提也必然成立）。花了些時間講完這概念後，我個人認為（以他的反應）他逐漸了解我們不能再次用「位移（面積）除以時距（底邊長）就是平均速度，而它從圖形上恰好對應到瞬時速度（矩形的高）」來回答為什麼「在等速度運動時，任意時距的平均速度即為任何時間點的瞬時速度」的問題。因此，我接著告訴他為什麼那是對的（以上花了不少時間）。
我告訴他，以等速度運動為例。如果物體的瞬時速度不隨時間變化。那麼，在知道物體於某時刻的位置後，我們可以由 X-t 圖上的那個點，以及該時刻在 V-t 圖上對應的瞬時速度，畫出其於 X-t 圖上的切線。由此可以同樣的切線斜率，在 X-t 圖上畫出一條斜直線。（這部分在實際教學上，畫了不少的圖，以及給了他不少的時間慢慢思考，所以這裡只是約略提及）因此，我們可以由平均速度與瞬時速度的幾何意義——割線斜率與切線斜率——在 X-t 圖上得到底下的結論：
在等速度運動中，任何時段的平均速度，等同於，任何時間點上的瞬時速度。
$$\bar{v}_x=v_x(t)\tag{4}$$
因此，當我們將等速度運動之 V-t 圖上的值（高）乘上運動時距（底）之後，我們應該將這段「高」——瞬時速度，例如 $V(1)$——理解為在 $1$ ~ $5$ 秒的平均速度值。由此我們可以了解到：
$$\Delta x=\bar{v}_x\Delta t=v_x(t)\Delta t=\text{Area}\tag{5}$$
更進一步而言，我們基於這個原因，只能夠確實計算出等速度運動的位移。因為只有在等速度運動的情況下，瞬時速度才會總是等同於平均速度。以上是我堅持的「由已知推理未知」的教學原則。而關於更多抽象的物理實在，例如重力場、能量等，我會「由直覺推得信念」的方法去教學。
因此，下一個問題是，當物體進行加速運動時，我們應該如何計算它的運動呢？為了回答這個問題，我接著跟他提到我先前在〈到底什麼是瞬時速度？〉提到的極限概念（之前有請他看過這篇文章）。
| 時刻（t） | 位置（x = t2 + 3t） | 由 1 秒算起之平均速度（Vavg） |
| 1 (s) | 4 (m) | none |
| 1.1 (s) | 4.51 (m) | 5.1 (m/s) |
| 1.01 (s) | 4.0501 (m) | 5.01 (m/s) |
| 1.001 (s) | 4.005001 (m) | 5.001 (m/s) |
| 1.0001 (s) | 4.00050001 (m) | 5.0001 (m/s) |
| …. | …. | ↓ |
| None | None | V(1) ≡ 5 (m/s) |
我們能夠做的，就是：
使用多段等速運動過程的位移，近似一段變速運動過程的位移。
然而，我們會發現，隨著我們將這運動過程分割得越是多段，這些位移似乎就呈現出一種「往某個特定值接近」的現象（下表是借用 James Stewart 微積分課本的範例）。
| 分割段數 | 位移 |
| N = 10 | 0.2850000 (m) |
| N = 20 | 0.3087500 (m) |
| N = 30 | 0.3168519 (m) |
| N = 50 | 0.3234000 (m) |
| N = 100 | 0.3283500 (m) |
| ↓ | ↓ |
| Very large number | 0.33333333….. |
因此，隨著我們繼續使用的等速運動「段數」越多，做變速運動的位移就越是接近一個特定值。而直覺上，我們也比較好接受段數比較多的近似，會比段數很少（例如才兩段）的近似還要來得接近實際的運動。因此，我們就宣稱那個看起來被大家接近的值，就是真正的位移。以上就是變速運動的位移為什麼恰好也是 V-t 圖底下”面積”的意思。以上，就是我花兩小時教國三理化的粗略過程。
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