許多參考書證明弦波（又稱週期波）波速與繩張力公式時，都會將於波峰之微小段繩所經歷的瞬時加速度視為向心加速度，然而在高二上時，老師又說向心加速度必垂直於瞬時速度。由於該質點其實正在作鉛直簡諧震盪，而且波峰恰好是端點，亦即瞬時速度為零！這就表示當時的瞬時加速度不可能是向心加速度。
$$a_{c}=\frac{v^{2}}{R}=\frac{0^{2}}{R}$$
儘管我們說「波速」是向前 $v$，但該質點的瞬時速度（或說振動速度）確實是零；俗稱的「波速」其實是相位速度，或者說「波形速度」。因此，將 v 用「波形速度」矇混過去仍是不正確的。本文將簡單說明正確的繩波推導方式，而這涉及到少見但十分重要的觀念—慣性參考系。
慣性參考系
點圖至 PhET 物理教學繩波模擬網頁
要將波峰微小段繩的瞬時加速度視為向心加速度的方法，就是讓該繩段真的具有一垂直瞬時加速度的瞬時速度。由於我們知道繩波波速為 $v$ 向右，因此我們可以選定一相對波形靜止的參考系，如此一來，雖然我們覺得波形靜止不動，但位於波峰的質點卻總是以 -v 向左運動。
由於牛頓認為力量是「絕對的」，也就是說，力量不因觀察者而不同，所以我們又說牛頓力學中的力量是「單值的」。因此，相對地面靜止的慣性參考系觀察到的繩張力 $T$，其量值與方向與相對波形靜止—亦即相對地面等速 $v$ 向右運動—的慣性參考系所觀察到的繩張力 $T$ 是完全相同的。
繩波的波速證明
如右圖，在此慣性參考系下的波峰微小段繩的瞬時加速度即為向心加速度，儘管它並非作圓周運動。此微小段繩對應到的曲率半徑不見得是振幅 $A$，讓我們姑且假設是 $R$ 吧。
$$a_{y}=a_{c}=-\frac{v^{2}}{R}\tag{1}$$
接著看看它的鉛直合力：
$$F_{net,y}=-2T\text{sin}(\theta)\approx-2T\theta\tag{2}$$
上式的近似表示我們僅考慮位於波峰（或波谷）的繩質點，角度因此非常地小。並且由於繩子沒有水平位移，所以繩張力之水平分量處處相等，所以此左右對稱的微小段繩左右端張力相同。並且其重量遠小於繩張力，所以忽略不計。接著，假設此微小段繩長為 $L$，那麼其質量就可寫為線密度乘以長度：
$$m=\mu L=\mu(2R\theta)\tag{3}$$
因此，根據牛頓第二定律：
$$F_{net,y}=-2T\theta=(2R\mu\theta)\left(-\frac{v^{2}}{R}\right)\tag{4}$$
$$\therefore v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\tag{5}$$
Loading ...
我看完及仔細思考後，我有兩個問題~
1.是否一定要「藉助慣性座標系」才能完成波速的證明?
若不利用「慣性座標系」還有辦法列式嗎? 我是列不出來啦= =
2.挑選「波峰的那個點」才能計算嗎?
若我偏偏要挑其他點來證明行得通嗎?
總覺得這種證明並不嚴謹，有許多太完美的假設~
最後就是，能想到用「慣性座標系」來推導弦波波速的人真得好厲害阿~
我自己慢慢想可能一輩子都想不出來阿~~~
一、其實我更常看見書上使用波動方程式（wave equation）證明波速，像是電磁學課本與古典力學課本都會推導出波動方程式，之後再證明波速與其他物理量的關係，可參考波動方程。
二、目前我沒想到具體方法，一旦觀察者相對波形靜止，那麼他將看見繩質點沿著波形在「流動」。之所以選擇在波峰推導波速，是因為它的「流速」與「流動方式」可近似為繞曲率中心的圓周運動。如果你要用其他點，那可能需要經過底下幾個步驟：
(1)找出其他點的曲率半徑，這可以透過波形方程式（ex: y=sin(x)）來推導，可參考曲率半徑。
(2)尋找沿著向心方向的向心加速度，因為流速都是v，否則質點會堆積在某處，所以v^2/r = 向心加速度。
(3)畫該點力圖—假設繩子水平張力處處相同，否則繩子整體會有水平加速度—並且連結繩張力與向心加速度的關係。
(4)藉由(2)、(3)，你應該可找到繩張力與v的關係，這應該就是你要的答案了。
我沒實際算過，如果你成功算出來，很歡迎你跟我分享答案^^！
我也不知道是誰想到的XD 關於你說的太完美的假設，我想可以在古典力學課本裡找到一些解釋！
想請問為何-2T\sin(\theta)近似-2T\theta為何要假設振幅遠小於曲率半徑呢？
從數學上應只要theta接近0，兩者就會足夠接近
很抱歉，都過了快一個月才回覆！老實說，我自己也想不太起來我一兩年前寫這文章時，為什麼會那麼強調了(><) 在想起來之前，我就先把那句刪除好了，感謝你！ 另外，其實這推導方法雖然貌似合理了點，但最好的方法，還是從牛頓力學出發，推導出波動方程式。同時，也會自然地得到波速與張力、線密度的關係式。