一題100年指考的題目

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1. Ethan表示:

   2019-03-2910:16:02

   Wow，某種程度上這不是很好解呢。

   讓我們先釐清題目的意思，他想要求的是底下這個：

   $$\vert\mathbf{p}(t)\vert=\sqrt{p^2_x+p^2_y}\label{1}\tag{1}$$

   接著，讓我們選擇一種坐標系，其 $x$ 軸平行於地面，並且 $x$ 座標向右遞增，而 $y$ 軸則是垂直於地面，$y$ 座標向上遞增，且原點相對地面靜止，也就是說這是個能夠使「動量概念」有意義的慣性座標系。

   因為這物體做水平拋射，所以藉由只考慮重力的條件，可以確知 $F_\text{net,x}=0$，使得

   $$p_x(t)=p_{x,0}\label{2}\tag{2}$$

   也就是說，$p_x(t)$ 是一個常數。再來，根據牛頓第二定律，可以知道，在外力不隨時間變化的情況下：

   $$F_\text{net,y}=-mg=\frac{dp_y}{dt}=\frac{\Delta p_{y}}{\Delta t}$$

   又因為是「水平」拋射，所以鉛直初速為零，所以 $p_y(0)=0$，因此，

   $$-mg=\frac{p_y(t)-0}{t-0}\quad\Rightarrow\quad p_y(t)=-mgt\label{3}\tag{3}$$

   最後將 Eq.$(\ref{2})$ 與 Eq.$(\ref{3})$ 代入 Eq.$(\ref{1})$，可以得到：

   $$\begin{align*}\vert\mathbf{p}(t)\vert&=\sqrt{p_{x,0}^2+\left(-mgt\right)^2}\tag{4a}\\\\[5pt]&=\sqrt{p_{x,0}^2+m^2g^2t^2}\tag{4b}\end{align*}$$

   也就是說，這是個以 $\sim\sqrt{a+bt^2}$ 方式遞增的函數。其縱軸截距大於零，如此可去掉(甲)、(乙) 兩選項。在 $t$ 數量級與 $a/b$ 差不多時，大概是以 $\sqrt{t}$ 的形式增長；而在 $t$ 足夠大時，成長樣式接近 $\sim\sqrt{0+bt^2}=\sqrt{b}t$，像是一條斜直線。因此，我想比較接近 (丁) 哦。