ch.23 Gauss’ law-12

在〈ch.23 Gauss’ law-12〉中有 4 則留言

1. Ethan表示:

   2018-03-1723:22:26

   這是個好問題！

   讓我將妳說的高斯定律寫下來：

   $$\iint_S\vec{E}(r=2\left.\mathrm{cm}\right., \theta, \phi)\cdot d\vec{a}=\frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}\tag{1}$$

   而妳的推論是$$Q_{\text{enclosed}}=0\quad\rightarrow\quad\vec{E}(r=2\left.\mathrm{cm}\right., \theta, \phi)=\vec{0}\tag{2}$$這樣的推論其實是不必然成立的。也就是說，$Q_{\text{enclosed}}=0 $ 僅僅是在說 $$\iint_S\vec{E}(r=2\left.\mathrm{cm}\right., \theta, \phi)\cdot d\vec{a}=0\tag{3}$$但積分式為零，並不必然得出內部的 $\vec{E}(r=2\left.\mathrm{cm}\right., \theta, \phi)$ 必為零。但我了解妳的推論原因，畢竟下式 Eq. $\eqref{4}$ 推論實在是太常見，所以容易被視為理所當然：$$\iint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{a}=\left|\vec{E}\right|\iint_S (r\sin\theta d\phi)(rd\theta)\tag{4}\label{4}$$如果 Eq. $\eqref{4}$ 是對的，那麼下式 Eq. $\eqref{5}$ 就必然成立了。$$\left|\vec{E}\right|\iint_S (r\sin\theta d\phi)(rd\theta)=0\quad\rightarrow\quad\left|\vec{E}\right|=0\tag{5}\label{5}$$因此，問題就出在 Eq. $\eqref{4}$，那為什麼 Eq. $\eqref{4}$ 經常是對的呢？這是因為在教學時，我們往往不希望學生受困於數學而無法理解到物理本質，所以我們往往會藉由極為對稱——也就是滿足球形對稱——的例子來示範使用高斯定律。而在電荷球形對稱地分佈時，我們沒有理由認為電場會與方位角 $\theta$、$\phi$ 有任何關係，也就是說：$$\begin{cases}\cfrac{\partial \vec{E}}{\partial \theta}=\vec{0}\\[2ex]\cfrac{\partial \vec{E}}{\partial \phi}=\vec{0}\end{cases}$$因此，我們通常會直接假設，在電荷球形對稱地分佈時，電場函數為 $$\vec{E}=\vec{E}(r)$$而在這種情況下，高斯定律就可以有如下改寫$$\begin{align}\iint_{S(r=\text{const.})}\vec{E}\cdot d\vec{a}&=\left|\vec{E}\right|\iint_{S(r=\text{const.})}da\tag{6a}\\[2ex]&=\left|\vec{E}\right|\cdot 4\pi r^2\tag{6b}\\[2ex]&=\frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}\tag{6c}\\[2ex]&\rightarrow\quad\left|\vec{E}\right|=0\quad\text{if}\quad Q_{\text{enclosed}}=0\tag{6d}\end{align}$$

   總歸一句：因為電場在妳後面所取的 $r=2\left.\mathrm{cm}\right.$ 球面上並不是均勻強度的電場，而是會隨著 $\theta$、$\phi$ 改變的電場（由電荷並非球形對稱地分佈，可大致推得此結論），所以 Eq. $\eqref{4}$ 就是錯的了，也就無法推出「該球面上的電場強度必然為零」的結論。而倘若妳用不同的、但涵蓋到部分 $r=2\left.\mathrm{cm}\right.$ 球面的高斯曲面，計算高斯定律，那麼理應能得出更多資訊，讓妳確信那球面上的電場應該並不單純地為零。

   不過，這題當然不需要這麼算。這題該做的，就是透過電場的重疊原理，將兩球殼在 $x=2\left.\mathrm{cm}\right.$ 處的電場分開計算：$$\vec{E}(x=2\left.\mathrm{cm}\right.)=\vec{E}_{\text{left}}+\vec{E}_{\text{right}}$$接著再使用球殼定理——或者使用高斯定律也可——分別計算 $\vec{E}_{\text{left}}$、$\vec{E}_{\text{right}}$。
2. charlotte表示:

   2018-03-1806:41:23

   「因為電場在妳後面所取的 r=2cm球面上並不是均勻強度的電場，而是會隨著 θ、ϕ
   改變的電場（由電荷並非球形對稱地分佈，可大致推得此結論）」
   →這裡要怎麼知道在r=2cm處的電荷不是球形對稱地分布?
   還是說從題目上來看無法得知，但是不能以包到電荷為零來推論電場為零，這是只有在球形對稱才
   能成立的推論
3. Ethan表示:

   2018-03-1809:02:11

   所謂的「在 $r=2\left.\mathrm{cm}\right.$ 球面上並非均勻強度的電場」，其實並不是指「在 $r=2\left.\mathrm{cm}\right.$ 處的電荷不是球形對稱地分佈」，而是指$$\left|\vec{E}(r=2\left.\mathrm{cm}\right.,\theta,\phi)\right|=\text{const.}\tag{1}$$這是為什麼 Eq. $\eqref{2}$ 成立的原因：$$\iint_{S(r=2\left.\mathrm{cm}\right.)} \vec{E}\cdot d\vec{a}=\left|\vec{E}\right|\iint_{S(r=2\left.\mathrm{cm}\right.)}da\tag{2}\label{2}$$而我後面括號所說的「電荷並非球形對稱地分佈」是指，以題目所設定的坐標系而言，我們若將面電荷密度 $\sigma(r,\theta,\phi)$ 寫出來$$\sigma(r,\theta,\phi)=\begin{cases} +6.0\left.\mathrm{\mu C}\middle/\mathrm{m}^2\right.&\quad\text{if}\quad |\vec{r}|=3\left.\mathrm{cm}\right.\\[2ex] +4.0\left.\mathrm{\mu C}\middle/\mathrm{m}^2\right.&\quad\text{if}\quad |\vec{r}-10\hat{i}|=10\left.\mathrm{cm}\right. \end{cases}\tag{3}$$不難發現 $$\begin{cases}\cfrac{\partial \sigma}{\partial \theta}\neq0\\[2ex]\cfrac{\partial \sigma}{\partial \phi}\neq0\end{cases}\tag{4}$$因此，我們說這題目物理情境中的電荷密度不具有球形對稱性。
4. charlotte表示:

   2018-03-2522:33:20

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   對不起，這裡我看不懂這樣寫是什麼意思 $\left |\vec{r}-10\hat{i} \right |=10cm$
   面電荷密度這樣表達的意思是指從原點出發，隨著距離的增加，電荷密度分佈不同，所以說他們球形不對稱?
   如果分開來看，我會覺得shell1 跟shell2的電荷各是分佈對稱的(題目也寫到uniform surface charge density)，還是說要把shell1跟shell2當成整體來看
   那可以這樣說知道了是非球形對稱的電荷分佈，所以可以推得電場是非均勻強度的?