ch.23 Gauss’ law -23-6 sample problem

在〈ch.23 Gauss’ law -23-6 sample problem〉中有 2 則留言

1. Ethan表示:

   2018-03-2423:43:36

   其實深入講下去會滿麻煩的。簡單來說，在最後達靜電平衡時，內部負電荷接收的所有電力線都來自內表面感應正電荷。因此，它們對 $r>R$ 區域就不再有任何電場貢獻（總貢獻為零）。

   上述說法比較難證明的是，為什麼內表面的感應正電荷發出的電力線，不會先繞到 $r>R$ 的區域，再繞回內部的負電荷呢？例如這樣：

   

   這個證明很麻煩。但妳可以接著往下看：

   首先假設球殼帶有正電荷 $+5.0\left.\mathrm{\mu C}\right.$，假設此時達靜電平衡，亦即所有電荷都的合力都是零。因此，我們可以確保在 $r>R$ 的區域，所有位置的電場都是零。而這個狀態，就是球殼內表面都佈滿了正電荷，並且正電荷發出的電力線都「沒有」繞到 $r>R$ 的區域，而是直接在從 $r\leq R$ 出現並且被內部的負電荷接收。這些球殼內表面的正電荷分佈，也是需要進一步驗證的。但這個證明就超出了大一普物範圍。原則上，它會滿足這個關係式：

   $$\vec{E}\cdot\hat{n}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$$

   其中，$\hat{n}$ 是球殼內表面在某特定點上，指向內部（也就是指"出"球殼）的單位向量。而 $\vec{E}$ 就是在球殼內表面某特定點的內部（$r\leq R$）但很接近球殼的"表面電場"。總之，就是說，電場越強的地方（電力線越密集的地方），面電荷密度（$\sigma$）越大。這關係式其實是從高斯定律推得的，只不過應該有超出大一普物範圍。

   話說回來，在這種靜電平衡情況下，我們再把 $-5.0\left.\mathrm{\mu C}\right.$ 放入球殼中，讓球殼變成電中性，成為這題的模樣，這時妳應該就能理解這些外部電荷會自然地均勻分布了。

   不過上述論證有個問題是：這些多加進來的負電荷應該也會作用於原先分佈在球殼內表面的正電荷上，會影響這些正電荷的分佈，那為什麼這些新來的負電荷卻都「沒有」對原有的正電荷分佈造成任何影響呢？

   這邊應該就涉及到更多的證明了，我還需要些時間去想想。但我覺得這大概可以由熱力學第二定律推得。總之，其實是一定會有影響的，只不過「最終」還是會回到課本所說的那種狀態：球殼內表面與外表面電荷似乎互相不影響地，獨立地分布在內外表面上。內表面之正電荷只受到內部負電荷影響，而外表面的負電荷則是自己受自己影響，最後呈現均勻地球狀分佈。
2. Ethan表示:

   2018-03-2519:48:17

   「Outside the shell the pattern is the same as if the point charge were centered
   and the shell were missing.」

   the shell were missing 的意思是，因為內部負電荷與內表面感應正電荷對外界完全沒有任何影響：

   $$\vec{E}_{-q}+\vec{E}_{\text{inner surface}}=0$$

   所以可以當作完全沒有球殼（the shell were missing），並且只剩下球殼外表面的感應負電荷。這樣的觀點就讓妳能完全忽視內部的作用，只需考慮均勻球對稱分佈的外表面電荷就可，而這些電荷又可以被集中在球心上來看（球殼定理）。