ch.23 Gauss’ law-26

在〈ch.23 Gauss’ law-26〉中有 5 則留言

1. Ethan表示:

   2018-03-1723:48:55

   這題基本上就是要考妳使用兩個（圓柱形）高斯面，藉此計算出「內棒」線電荷密度及「內棒與外殼」的線電荷密度，接著再相減，即可得到答案。因為它們的長度必然比外殼直徑還要大得多，妳覺得有多大就有多大，所以在假定圓柱是沿著 $z$ 軸的情況下，我們可以合理地推得電場並不隨著 $z$ 座標不同而不同—— $\partial \vec{E}/\partial z = \vec{0}$。也就是說：$$\vec{E}=\vec{E}(\rho,\phi)$$其中 $\rho$ 是與中心軸的直線距離。接著，因為電荷是圓柱對稱地分佈，所以我們相信，從任何角度（$\phi$）觀察、測量電場，得到的值也應該都一樣，所以：$$\frac{\partial \vec{E}}{\partial \phi}=\vec{0}\quad\rightarrow\quad\vec{E}=\vec{E}(\rho)\tag{1}\label{1}$$進一步而言，因為電荷呈現圓柱對稱地分佈，所以，當我將電荷分佈的「頭尾」翻轉 $180^\circ$ 時，因為電荷分佈跟翻轉前完全相同，所以電場應該也必須是一樣的。對於這種對稱性，我們就能確定，電場的方向必定是沿著半徑的方向（指離或指向中心軸）。也就是說：$$\vec{E}(\rho)=E(\rho)\hat{\rho}\tag{2}\label{2}$$其中，$E(\rho)$ 為 $\vec{E}$ 的徑向分量。接著，稍微說明一下圓柱表面的高斯定律該如何寫。首先，看看下圖：

   

   $S_1$、$S_2$分別是圓柱的上下表面，而此圓柱中心軸就是題目中的圓柱中心軸，圓柱面 $S_3$ 則是沒有一定方向，只能說是有著「半徑方向」的圓柱面。而這圓柱的半徑（改用代號 $\rho$ 表示圓柱座標的半徑）則取決於我們想計算何處的、$\rho$ 為多少的電場了。因為在圓柱座標下，只要我們給定「與中心軸的距離 $\rho$」、「以 $z$ 軸為轉軸、$x-z$ 平面為起始面、逆時鐘方向增加所計算的角度 $\phi$」以及最後的「$z$ 軸座標」，就能夠標記唯一的點（對於 $\rho=0$ 的情況，也就是在 $z$ 軸上的點，我們沒有為 $\phi$ 定義）。因此，電場就是 $(\rho,\phi,z)$ 的函數：$\vec{E}=\vec{E}(\rho,\phi,z)$。

   

   假設 $S_2$ 至 $S_1$ 為 $z$ 座標增加的方向，那麼根據 Eq. $\eqref{2}$：
   $$\begin{aligned}\because\int_S\vec{E}\cdot d\vec{a}&=\int_{S_1}E(\rho)\hat{\rho}\cdot(\hat{z}da)\\[2ex]&+\int_{S_2}E(\rho)\hat{\rho}\cdot(-\hat{z}da)+\int_{S_3}E(\rho)\hat{\rho}\cdot(\hat{\rho}da)&\end{aligned}\tag{3}\label{3}$$因為 $\hat{\rho}\cdot\hat{z}=0$、$\hat{\rho}\cdot\hat{\rho}=1$，所以：$$\int_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=0+0+\int_{S_3}E(\rho)da\tag{4}$$由於 $\rho=\text{const.}$，所以：$$\begin{align}\int_S\vec{E}\cdot d\vec{a}&=E(\rho)\int_{S_3}da\tag{5a}\\[2ex]&=E(\rho)(2\pi\rho\cdot l)\tag{5b}\label{5b}\end{align}$$其中，$l$ 為我們任意設定的圓柱長度。因此，我們將 Eq.$\eqref{5b}$ 代入高斯定律：$$\int_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=\frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}\tag{6}$$可以得到$$2\pi\rho l\cdot E(\rho)=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}\tag{7}$$$$\therefore E(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\rho}\tag{8}$$其中，$\lambda$ 定義為單位長度的電荷量：$\lambda\equiv\cfrac{Q_{\text{enc}}(l)}{l}$。因此，代回 Eq. $\eqref{2}$，我們可得$$\vec{E}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\rho}\hat{\rho}\tag{9}\label{9}$$

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   最後，由題目所給的圖可以知道：$$\vec{E}(\rho)\rightarrow\begin{cases}\cfrac{1}{3}E_s\hat{\rho}&\quad\text{if}\quad\rho\rightarrow 3.5^-\left.\mathrm{cm}\right.\\[2ex]-\cfrac{2}{3}E_s\hat{\rho}&\quad\text{if}\quad\rho\rightarrow 3.5^+\left.\mathrm{cm}\right.\end{cases}$$因此，藉由 Eq. $\eqref{9}$，可以得到：$$\begin{cases}\cfrac{\lambda_{\text{in}}}{2\pi\epsilon_0\times(3.5\left.\mathrm{cm}\right.)}=\cfrac{1}{3}E_s \\[2ex]\cfrac{\lambda_{\text{in}}+\lambda_{\text{out}}}{2\pi\epsilon_0\times(3.5\left.\mathrm{cm}\right.)}=-\cfrac{2}{3}E_s \end{cases}$$$$\therefore \frac{\lambda_{\text{out}}}{2\pi\epsilon_0\times(3.5\left.\mathrm{cm}\right.)}=-E_s$$$$\therefore\lambda_{\text{out}}=-2\pi\epsilon_0\times(3.5\left.\mathrm{cm}\right.)E_s$$$$\therefore \lambda_{\text{out}}=-2\pi(8.85\times 10^{-12}\left.\mathrm{F}\middle/\mathrm{m}\right.)(0.035\left.\mathrm{m}\right.)(3.0\times 10^3\left.\mathrm{V}\middle/\mathrm{m}\right.)$$$$\therefore\lambda_{\text{out}}=-5.8\times10^{-9}\left.\mathrm{C}\middle/\mathrm{m}\right.$$
2. charlotte表示:

   2018-03-1807:31:22

   有兩個小地方我看不懂

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   要怎麼知道1/3 Es對應到的距離是3.5-cm,而-2/3 Es對應到的距離是3.5+cm

   https://imgur.com/8xH1RyK
   怎麼知道1/3 Es 包到的是裡面的圓柱，-2/3 Es有涵蓋了裡面跟外面的圓柱
3. Ethan表示:

   2018-03-1822:10:44

   換個方式寫：
   $$\lim_{\rho\to 3.5^-}\vec{E}(\rho)=\frac{1}{3}E_s\hat{\rho}\tag{1}\label{2-1}$$
   $$\lim_{\rho\to 3.5^+}\vec{E}(\rho)=-\frac{2}{3}E_s\hat{\rho}\tag{2}\label{2-2}$$
   也就是說，對於 Eq. $\eqref{2-1}$ 而言，$\rho<3.5\left.\mathrm{cm}\right.$，所以線密度當然是不須考慮 $\lambda_{\text{out}}$。而對於 Eq. $\eqref{2-2}$，$\rho>3.5\left.\mathrm{cm}\right.$，所以就需要同時考慮被 $S(\rho>3.5\left.\mathrm{cm}\right.)$ 高斯面同時包住的 $\lambda_{\text{in}}$ 與 $\lambda_{\text{out}}$ 了。
4. charlotte表示:

   2018-03-2523:16:14

   那可以這樣說在$rho$ <3.5cm，電場隨著距離逐漸減小(可知是正電荷)，而在$rho$ >3.5cm時電場為負且隨著距離變大，代表開始有包到外面圓柱的電荷(且為負電荷)，因為如果沒有涵蓋到外面的話，電場不會為負，所以可以知道$rho$ =3.5cm是他們的交界點 ?
   那如果把外面電荷改為與中間圓柱是同性電，是不是這樣就沒法知道$rho$ =3.5cm是中間圓柱與外面圓柱球殼的交界點?
   • Ethan表示:

     2018-04-0709:46:38

     主要是從題目那張電場與距離的圖來看看 $\vec{E}=\cfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\rho}\hat{\rho}$ 是否連續。如果是連續地變化（可一筆從頭畫到尾），那電場與距離的函數 $\vec{E}(\rho)$ 顯然是個只有 $\rho$ 在變化的函數，其他物理參數都不隨時間、位置而變化。但這題顯然是在 $\rho=3.5\left.\mathrm{cm}\right.$ 有了變化，所以這必定是由 $\lambda$ 變化造成的。

     至於妳說的同性電，那就不一定了，因為同性電如果也在 $\rho=3.5\left.\mathrm{cm}\right.$ 有斷層，那還是可以知道有均勻圓柱電荷密度的存在。