求電阻問題

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1. Ethan表示:

   2018-04-1719:51:48

   哈囉您好，如果您只是想問積分方法的話，那麼這做法是這樣的：

   $$\begin{align} R&=\frac{\rho_0}{A}\int_0^L e^{-x/L}dx \\[2ex] &= \frac{\rho_0}{A}\left( -L \right)e^{-x/L}\vert_{0}^{L} \\[2ex] &= \frac{\rho_0}{A}\left(-L\right)\left(e^{-1}-1\right) \\[2ex] &=\frac{\rho_0 L}{A}\left(1-e^{-1}\right) \end{align}$$

   而究其根本，這此積分式的概念是。因為 $R=\rho_0 L/A$ 預設在這段 $L$ 的電阻上，電阻率處處相等，所以如果我們想用這公式（或說性質）計算長度為 $L$ 之電阻率不均勻分布的電阻值：$\rho=\rho(x)$，那麼我們就得先將該長度 $L$ 的電阻近似為 $N$ 等份的理想（均勻）電阻，之後慢慢去尋找最符合我們直覺的近似情況——極限定義。

   例如，以這題而言，我們可以將 $\rho(x)=\rho_0 e^{-x/L}$ 近似為兩等份。

   在 $0\leq x\leq L/2$ 的地方，電阻都近似為 $\rho(0) = \rho_0$。而在 $L/2\leq x\leq L$ 的地方，電阻都近似為 $\rho(L/2)=\rho_0 e^{-1/2}$。因此，這條電阻的電阻值就變成了：

   $$\begin{align}R&\approx\rho(0)\frac{L/2}{A}+\rho(L/2)\frac{L/2}{A}\\[2ex] &=\left( \rho_0 \right)\frac{L/2}{A}+\left( \rho_0 e^{-1/2} \right)\frac{L/2}{A} \\[2ex] &= \frac{\rho_0 L}{A}\frac{1}{2}\left(1+e^{-1/2}\right) \end{align}$$

   你一定會覺得這樣不夠準確。那麼，我們可以進一步將它近似為三等份。如下圖所示，藍線為將不均勻電阻率函數，近似為兩段均勻電阻率函數的情況。而綠線則是近似為三段均勻電阻率的情況。

   請參考這張圖案：

   

   $$\begin{align}R&\approx\rho(0)\frac{L/3}{A}+\rho(L/3)\frac{L/3}{A}+\rho(2L/3)\frac{L/3}{A}\\[2ex] &=\left( \rho_0 \right)\frac{L/3}{A}+\left( \rho_0 e^{-1/3} \right)\frac{L/3}{A}+\left( \rho_0 e^{-2/3} \right)\frac{L/3}{A} \\[2ex] &= \frac{\rho_0 L}{A}\frac{1}{3}\left(1+e^{-1/3}+e^{-2/3}\right) \end{align}$$

   你應該會同意，近似為三段的情況，更接近真實了，但這仍然不夠。因此，我們不如直接近似為 $N$ 段。

   $$\begin{align}R&\approx \rho(0)\frac{L/N}{A}+\rho(L/N)\frac{L/N}{A}+\rho(2L/N)\frac{L/N}{A}+\cdots\\[2ex] &= \frac{\rho_0 L}{A}\frac{1}{N}\left(1+e^{-1/N}+e^{-2/N}+\cdots+e^{-(N-1)/N}\right) \\[2ex] &= \frac{\rho_0 L}{A}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N e^{-(i-1)/N} \end{align}$$

   我想，你也會同意，我近似得越是多份，越是準確。也就是說，我們相信這種情況下的電阻值，應該就必須是底下的”定義”：

   $$R\equiv \lim_{N\to\infty}\frac{\rho_0 L}{A}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N e^{-(i-1)/N}$$

   事實上，這就是定積分的黎曼和形式：

   $$\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N e^{-(i-1)(L/N)/L}\left(\frac{L}{N}\right)=\int_{0}^L e^{-x/L}dx=1-e^{-1}$$

   而如果我們使用一般求極限方式，也是可以算出電阻 $R$ 的：

   $$\begin{align} \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \text{exp}\left(\frac{1-i}{N}\right)&=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\frac{1\cdot\left\{1-\left[e^{-(1/N)}\right]^N\right\}}{1-e^{-1/N}} \\[2ex]&=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\frac{1-e^{-1}}{1-e^{-1/N}}\\[2ex] &=(1-e^{-1})\lim_{N\to\infty}\cfrac{\frac{1}{N}}{1-e^{-1/N}}\end{align}$$

   根據 L’Hôpital’s rule，我們可得到
   $$(1-e^{-1})\lim_{N\to\infty}\cfrac{\frac{1}{N}}{1-e^{-1/N}}=(1-e^{-1})\lim_{N\to\infty}\cfrac{-\frac{1}{N^2}}{-e^{-1/N}\left(\cfrac{1}{N^2}\right)}$$

   因此，

   $$\begin{align} R&=\frac{\rho_0 L}{A}(1-e^{-1})\lim_{N\to\infty}\cfrac{-\frac{1}{N^2}}{-e^{-1/N}\left(\cfrac{1}{N^2}\right)}\\[2ex] &=\frac{\rho_0 L}{A}(1-e^{-1})\lim_{N\to\infty}e^{1/N}\\[2ex]&=\frac{\rho_0 L}{A}(1-e^{-1})\cdot 1\end{align}$$