在常見的 Neaman 固態電子學教科書中，電子濃度（$n\equiv N/V$）的推導是藉由自由電子氣體模型的能階密度所類比得到的。我希望能在這篇文章，由半古典電子動力學模型、能帶理論、倒空間、費米面等觀念，大致完整走過一次物理推導。以求在「不使用類比」的前提下，由物理的方法得到所謂的電子載子濃度：
$$n=\int_{\varepsilon_c}^{\infty}g_c(\varepsilon)f(\varepsilon)d\varepsilon$$
其中，$g_c(\varepsilon)$ 為在能階能量為 $\varepsilon$ 時，能階數目隨著能量 $\varepsilon$ 改變的變化速率。根據採用的普朗克常數，有兩種不同寫法：
$$g_c(\varepsilon)=\frac{4\pi(2m_c)^{3/2}}{h^3}\sqrt{\varepsilon-\varepsilon_c}=\frac{m_c^{3/2}}{\pi^2\hbar^3}\sqrt{2(\varepsilon-\varepsilon_c)}$$
所謂的自由電子模型，是指在完全忽略電子間交互作用，並且讓這些電子在完全沒有位能的情況下，所推得的波函數組態。這一直讓我很困擾，畢竟實際上半導體中的傳導電子並不是處在一個完全沒有位能的環境中。這些傳導電子——或者說價電子——其實是位於具有著週期性的位能環境中，從而使得布拉赫理論（Bloch theorem）成立。
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\mathbf{r})\right]\psi=\varepsilon\psi$$
$$U(\mathbf{r})=U(\mathbf{r}+\mathbf{R})\quad\to\quad\psi(\mathbf{r}+\mathbf{R})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\psi(\mathbf{r})$$
其中，$\mathbf{R}$ 為布拉菲晶格（Bravais lattice）中的任意晶格向量 $\mathbf{R}\equiv n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3\;,\;n_i\in\mathbb{Z}$。並且 $\mathbf{k}$ 為倒晶格（reciprocal lattice）中的任意向量：$\mathbf{k}=x_1\mathbf{b}_1+x_2\mathbf{b}_2+x_3\mathbf{b}_3\;,\;x_i\in\mathbb{C}$。而在搭配玻恩—卡曼邊界條件（Born-Von Karman boundary condition）後，我們可得到波向量 $\mathbf{k}$ 中的 $x_i$ 為 $x_i=m_i/N_i$ 的實數且 $m_i$ 為整數的解（$N_i$ 為布拉菲晶格在 $\mathbf{a}_i$ 方向上的基本晶胞（primitive cell）數目，$N_i\equiv L/a_i$）。
這是我第一篇使用固態物理以試圖解釋常見半導體物理公式的文章。除了想寫給同樣有興趣了解的讀者以外，也是想試著用自己的話、熟悉的中文語言，重新解釋清楚究竟我學了什麼。由於我的固態物理是自學的，所以可能有些錯誤，還請多多包涵。
我不知道有沒有人跟我一樣，對於工程的東西，就是比較難直接吞下去，總是希望可以由物理學、第一原理盡可能地推下去。相信你應該會覺得這根本瘋了，但我也不知道為什麼，我自己大概只有這樣才能把那些工程學科學得好。這也是為什麼我的固態電子學總是學得很吃力，因為很難（在感情上？）接受那些觀念、推論。對我而言，那些類比的說服力並不足夠強，我希望能看到更多的物理上的詳細推導，我才能夠在心中有所謂的物理直覺、圖像等。這篇文章，我想談談應該算是第一個重要的半導體物理公式。這篇文章用到很多我沒有細講的概念，一方面是自己也不清楚背後的深厚理論，二方面是即便清楚，也沒有足夠時間寫文章交待清楚。但如果你想知道更多某部分的物理，是很歡迎你留言跟我說的。未來我也會找時間寫寫我覺得很基本且重要的固態物理觀念。
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