ch.25 capacitance-33

在〈ch.25 capacitance-33〉中有 1 則留言

1. Ethan表示:

   2018-04-0311:27:38

   $U_e = \frac{1}{2}CV^2$ 確實可計算出在這空間中（除了金屬球內部以外的空間）的所有電位能。不過，當你把這電位能除以"扣掉金屬球體積而剩餘的宇宙體積"，之後，理論上應該會得到極接近 0 的答案，畢竟宇宙體積相較於金屬球體積還是超級大的吧？妳一定會帶一個超大的體積，使得"平均電能密度"要多靠近零，就有多靠近零。更重要的是，這些推論都沒有錯，只不過這並非題目問的。

   題目問的是在”金屬球表面外”的電能密度（要多接近金屬表面，就有多接近金屬表面），因此，如果要用這個方法。那麼妳得先設想這個超大型球狀電容（內半徑為 5 cm，外半徑要多大就有多大）為一大堆”球狀電容”的串聯。那個圖像將會是一大堆球殼層。

   

   這樣就比較方便我們計算，因為我們相信電能密度在空間中的分佈，應該會因為電荷呈球對稱分佈而也同樣具有著球形對稱分佈。所以，一個超薄球殼電容的平均電能密度，就會等於在金屬球表面一個微小體積（可以是極小的立方體體積）內算出來的電能密度（類似等速度運動中的平均速度等於瞬時速度的性質）。接著，因為妳要設想的是金屬球表面的電能密度，所以妳得——等效上——計算出最內層的金屬球殼電容，然後用這去算球殼附近的電能。

   $$U_e=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}\frac{r_{\text{in}}r_{\text{our}}}{r_{\text{in}}-r_{\text{out}}}V^2$$

   我們要求 $r_{\text{out}}$ 只比 $r_{\text{in}}$ 大一點點，我們用 $dr$ 表示這個差距。但接下來會遇到的問題，就是不知道這厚度只有 $dr$ 的電容的跨壓 $V$ 到底有多少。畢竟，題目給的 8000 V 是指外半徑無限大的電容的跨壓。因此，我們最好是選擇另一個公式：$U_e=\frac{Q^2}{2C}$

   這公式的好處是，不管是小電容還是大電容，電容都是儲存一樣的電量 $Q$。為了計算 $Q$，我們需要用原先的無限大外球殼的電容公式來算出儲存的電量（底下的 $R$ 為 5 cm）：

   $$Q=CV=4\pi\epsilon_0\times 0.05\times8000\approx4.45\times10^{-8}\left.\mathrm{C}\right.$$

   因此，在「內球殼半徑為 $a=5\left.\mathrm{cm}\right.$、厚度為 $dr$ 的電容」中的電能為：

   $$U_e=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2}\times\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dr}{a(a+dr)}$$

   我們有了位於金屬球表面的附近的微小厚度內儲存的電能之後，再除以這空間的體積，也就是厚度為 $dr$、內半徑為 $a$ 的薄球殼體積 $dV=4\pi a^2 dr$，就可以得到近似值：

   $$u\approx\frac{U_e}{4\pi a^2 dr}=\frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 a^3(a+dr)}$$

   而這又進一步近似為

   $$u\approx \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 a^4}=2.54\times 10^6\left.\mathrm{J}\middle/\mathrm{m}^3\right.$$

   這是用妳的方法做出來的答案。我沒詳細檢驗，大概算算，有錯再跟我說 XD