關於「知道」的無效論證

• 前提、你知道「曹操是三國時代的人」
• 前提、你知道「曹操等於曹吉利」
• 結論、你知道「曹吉利是三國時代的人」

前提為真時，結論不可能為假嗎？是可能的，所以是無效論證，但為何它看起來很像有效論證呢？

仔細想想，這確實不是有效論證，因為我們很容易找到如下的數學推理反例：

• 前提、你知道 L₁ 是 xy-2x-2y+3 = 0
• 前提、你知道 L₂ 是 x²+2xy+y² – 36 = 0
• 結論、你知道 L₁ 與 L₂ 有三個交點

曹操案例與數學推理反例的共通點就是，認知主體於前提所知道的命題——「曹操是三國時代的人」、「曹操等於曹吉利」——確實邏輯蘊涵結論中認知主體所知道的命題——「曹吉利是三國時代的人」。如果上述論證是有效論證，那數學就太好教了！可是很多時候就是「沒想到」。儘管這麼說並沒有解釋到為什麼我們會有「它是有效論證」的錯覺。在先擱置 Gettier Problems 的前提下，我們可回顧一下傳統的知識標準分析：

若 S 知道 P，若且唯若，

1. (Truth)：P 是真的
2. (Belief)：S 相信、接受 P
3. (Justification)：S 有好理由支持 P 是真的

因此，我們可將曹操例子中的前提與結論分別使用「S 知道 P」的充要條件替換如下，其中 T 表真理要件、B 表信念要件以及 J 表證立要件：

• T₁：「曹操是三國時代的人」是真的
• B₁：你相信「曹操是三國時代的人」
• J₁：你有好理由支持「曹操是三國時代的人」是真的
• T₂：「曹操等於曹吉利」是真的
• B₂：你相信「曹操等於曹吉利」
• J₂：你有好理由支持「曹操等於曹吉利」是真的

而我們的結論（conclusion）可改寫為：

• T_c：「曹吉利是三國時代的人」是真的
• B_c：你相信「曹吉利是三國時代的人」
• J_c：你有好理由支持「曹吉利是三國時代的人」是真的

如果那是有效論證，那麼結論中的每個命題都由前提所邏輯蘊涵。

首先針對 T_c，顯然 T₁、T₂ 確實邏輯蘊含 T_c。令 a 為曹操，b 為曹吉利，F 為「___是三國時代的人」。所以，它的等同論證為：

1. (x)(y)(F)(x=y≡(Fx≡Fy))
2. Fa
3. a=b / Fb

其中的（1）為萊布尼茲等同律[1]。因此， T₁、T₂ 邏輯蘊涵  T_c。

接著針對 B_c，雖然曹操的例子直觀到讓人們覺得，只要 B₁、B₂ 成立，那麼 B_c 也成立。然而從上述的數學推理反例可知這是不一定的，這是使「曹操論證」為無效論證的主要理由。另外，我們不見得有能力由前提（已知的命題）推理出結論（未知的命題）。因此，我們缺乏好理由以支持結論為真（J_c）。

結論

[1] 萊布尼茲等同律：任何兩個個體，如果是等同的，那麼兩者具有完全相同的性質；反之，如果任何兩個個體具有完全相同的性質，則兩者是等同的。